Miguel Angel Montejo Ráez

Curso de electrónica digital (I)

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Indice

Introducción al álgebra de Boole.
Operaciones lógicas básicas.
Propiedades del álgebra de Boole.
Otras operaciones lógicas.
Puertas lógicas.
Simplificación de funciones.
Tabla de verdad.

Como herramienta de práctica puedes emplear el simulador de circuitos digitales, el cual está disponible gratuitamente en esta misma web.

Introducción al álgebra de Boole

Muchos componentes utilizados en sistemas de control, como contactores y relés, presentan dos estados claramente diferenciados (abierto o cerrado, conduce o no conduce). A este tipo de componentes se les denomina componentes todo o nada o también componentes lógicos.

Para estudiar de forma sistemática el comportamiento de estos elementos, se representan los dos estados por los símbolos 1 y 0 (0 abierto, 1 cerrado). De esta forma podemos utilizar una serie de leyes y propiedades comunes con independencia del componente en sí; da igual que sea una puerta lógica, un relé, un transistor, etc...

Atendiendo a este criterio, todos los elementos del tipo todo o nada son representables por una variable lógica, entendiendo como tal aquella que sólo puede tomar los valores 0 y 1. El conjunto de leyes y reglas de operación de variables lógicas se denomina álgebra de Boole, ya que fué George Boole el que desarrolló las bases de la lógica matemática.

Operaciones lógicas básicas

Sea un conjunto formado por sólo dos elementos que designaremos por 0 y 1. Llamaremos variables lógicas a las que toman sólo los valores del conjunto, es decir 0 o 1.
En dicho conjunto se definen tres operaciones básicas:

SUMA LOGICA:

Denominada también operación "O" (OR). Esta operación responde a la siguiente tabla:

a b a+b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

PRODUCTO LOGICO:

Denominada también operación "Y" (AND). Esta operación responde a la siguiente tabla:

a b a*b

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

NEGACION LOGICA:

Denominada también operación "N" (NOT). Esta operación responde a la siguiente tabla:

a a'

0 1

1 0

Propiedades del álgebra de Boole

Las propiedades del conjunto en el que se han definido las operaciones (+, *, ') son las siguientes:

PROPIEDAD CONMUTATIVA:

De la suma: a+b = b+a
Del producto: a*b = b*a

PROPIEDAD ASOCIATIVA:

De la suma: (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c
Del producto: (a*b)*c = a*(b*c) = a*b*c

LEYES DE IDEMPOTENCIA:

De la suma: a+a = a ; a+a' = 1
Del producto: a*a = a ; a*a' = 0

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA:

De la suma respecto al producto: a*(b+c) = (a*b) + (a*c)
Del producto respecto a la suma: a + (b*c) = (a+b) * (a+c)

LEYES DE DE MORGAN:

(a+b+c)' = a'*b'*c'
(a*b*c)' = a'+b'+c'

Otras operaciones lógicas

A partir de las operaciones lógicas básicas se pueden realizar otras operaciones booleanas, las cuales son:

NAND, cuya tabla correspondiente es:

a b (a*b)'

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

NOR, cuya tabla correspondiente es:

a b (a+b)'

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

XOR, también llamada función OR-EXCLUSIVA. Responde a la tabla:

a b a(+)b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Puertas lógicas

Todas las funciones lógicas vistas hasta el momento poseen una representación normalizada, la cual se muestra en la figura siguiente:

Estas puertas las podemos encontrar empaquetadas dentro de distintos circuitos integrados. Por ejemplo, para la familia lógica TTL tenemos las siguientes referencias:

54/74 (LS) 00          Cuádruple puerta NAND de dos entradas
54/74 (LS) 02          Cuádruple puerta NOR de dos entradas
54/74 (LS) 04          Séxtuple puerta NOT
54/74 (LS) 08          Cuádruple puerta AND de dos entradas
54/74 (LS) 10          Triple puerta NAND de tres entradas
54/74 (LS) 11          Triple puerta AND de tres entradas
54/74 (LS) 20          Doble puerta NAND de cuatro entradas
54/74 (LS) 21          Doble puerta AND de cuatro entradas
54/74 (LS) 27          Triple puerta NOR de tres entradas
54/74 (LS) 30          Puerta NAND de ocho entradas
54/74 (LS) 32          Cuádruple puerta OR de dos entradas

Las puertas lógicas más frecuentes, baratas, y fáciles de encontrar son las AND. Debido a esto se suelen implementar circuitos digitales con el mayor número de dichas puertas.

Simplificación de funciones

Supongamos que tenemos un circuito donde "F" es la respuesta (salida) del mismo en función de las señales A, B, y C (entradas):

F = A*B*C + A'*B*C + B*C

Esta función puede ser simplificable aplicando las propiedades del álgebra de Boole. En primer lugar aplicamos la propiedad distributiva:

F = B*C*(A+A') + B*C

Ahora aplicamos las leyes de idempotencia:

F = B*C + B*C = B*C

Como hemos podido ver en este ejemplo en muchas ocasiones se puede simplificar la función (y por tanto el circuito) sin que ello afecte al resultado. Más adelante veremos como simplificar funciones empleando otros métodos más sencillos y fiables.

Tabla de verdad

DEFINICION:

Es una forma de representación de una función en la que se indica el valor 0 o 1 para cada valor que toma ésta por cada una de las posibles combinaciones que las variables de entrada pueden tomar.

Anteriormente hemos visto las tablas de respuesta de cada una de las operaciones lógicas; estas tablas son tablas de verdad de sus correspondientes puertas lógicas.

La tabla de verdad es la herramienta que debemos emplear para obtener la forma canónica de la función del circuito, para así poder simplificar y conseguir la función más óptima.

Veamos un ejemplo de un circuito y la tabla de verdad correspondiente:

A	B	C	D	F
0	0	0	0	1
0	0	0	1	1
0	0	1	0	1
0	0	1	1	1
0	1	0	0	1
0	1	0	1	1
0	1	1	0	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	1
1	0	0	1	1
1	0	1	0	1
1	0	1	1	1
1	1	0	0	1
1	1	0	1	1
1	1	1	0	1
1	1	1	1	0

Como podemos ver, si simplificamos la función obtenemos:

F = (A*B*C*D)'

es decir, un puerta NAND de 4 entradas.

Original de http://www.swin.net/usuarios/miguel/index.htm